【例1】某学校的全体学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是108人，问这个方阵共有多少人?
A、748 B、752 C、729 D、784
【华政解析】最外层人数为108人，是由最外层四条边上的人数所构成。假设每条边上有x人，如果直接算成4x的话我们发现其实是把方阵的最外层四个角上的人多算了一次，所以得出4x-4=108，x=(108+4)÷4=28人，共有 人，选D。
题干中没有特殊条件时，我们一般把方阵看作正方形。从例一中我们得出了一个结论：每层人数=每边人数×4-4。如果是长为M宽为N的方阵，结论为：每层人数=2(M+N)-4。
【例2】若干学校联合进行团体操表演，参演学生组成一个方阵，已知方阵由外到内第二层有104人，则该方阵共有学生多少人?
A、625 B、841 C、1024 D、1369
【华政解析】由外到内第二层有104人可知次二层每边有(104+4)÷4=27人，而最外层每边比最外次层多2人，共有 =841人，选B。
通过上题我们知道了方阵中每层每边人数依次增加2，因为一层由四条边组成，那么方阵中每层人数则依次增加8。我们也可以用公式证明，第x+1层人数为 ,化简为2x+4;第x层人数为 ,化简为2x-4(注意x≥2否则为负没有意义)，相减得出第x+1层比第x层人数多8。特例是当x=1时，最内层只有1人，次内层有8人，相差7人，希望大家注意。
【例3】有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有60人，中间一层共44人，则该方阵士兵的总人数为多少人?
A、156 B、210 C、220 D、280
【华政解析】方阵中每层人数依次增加8，最外层有60人，所以由外向内人数其实是一个等差数列，分别为60、52、44……。此外题干中我们得知第三层就是中间层，所以该中空方阵共有5层，总人数为44×5=220人，选C。
空心方阵与实心方阵的唯一区别是中间挖掉了一部分，求总人数一般用等差数列求和公式或平方差公式。总人数= =总层数×中间层人数。
【例4】一个正方形队列，如减少一行和一列会减少19人，原队列有几个人?
A、81 B、100 C121 D、144
【华政解析】通过简单的画图可以帮助我们理解，正方形方阵减少一行一列将有一人处于行列交叉处，相当于减少了(两行人数-1)人。则每边有(19+1)÷2=10人，原队列有10×10=100人，选B。
将上题拓展一下，如果减少两行两列，减少了(最外层每边人数×4-4)人;减少三行三列，减少(最外层每边人数×6-9);减少M行N列，减少(最外层每边人数×(M+N)-M×N)。
