牛吃草问题即牛顿问题,因由牛顿提出而得名。英国著名的物理学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天?典型的牛吃草问题的条件是假设草在不断生长且生长速度固定不变，牛在不断吃草且每头牛每天吃的草量相同，供不同数量的牛吃，需要用不同的时间，给出牛的数量，求时间。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决此问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。利用这些不变量，我们解决牛吃草问题时可将其转化为相遇或追及模型来考虑。
一、牛吃草问题的基本题型
(一)追及—— 一个量使原有草量变大，一个量使原有草量变小
原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生长的草) 天数
例：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天?按照公式，设每头牛每天吃的草量为“1”，每天生长的草量为X，可供25头牛吃T天，所以(10-X) 20=(15-X) 10=(25-X) T，先求出X=5，再求得T=5。
(二)相遇—— 两个量都使原有草量变小
原有草量=(牛每天吃掉的草+其他原因每天减少的草量) 天数
例：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天?
华政解析：牛在吃草，草在匀速减少，所以是牛吃草问题中的相遇问题，原有草量=(牛每天吃掉的草+每天减少的草) 天数，设每头牛每天吃的草量为“1”，每天减少的草量为X，可供Y头牛吃10天，所以(20+X) 5=(15+X) 6=(Y+X) 10，先求出X=10，再求得Y=5。
二、牛吃草问题的升级版题型
牛吃草问题出了以上两种基本模型，在此基础上还有一些其他的变形。
(一)极值型牛吃草问题
题目与标准牛吃草中的追及问题相同，只是题目的问法进行了改变，问为了保持草永远吃不完，那么最多能放多少头牛吃。
例：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问为了保持草永远吃不完，那么最多能放多少头牛?
华政解析：牛在吃草，草在匀速生长，所以是牛吃草问题中的追及问题，原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生长的草) 天数，设每头牛每天吃的草量为“1”，每天生长的草量为X，(10-X) 20=(15-X) 10，求得X=5，即每天生长的草量为5，要保证永远吃不完，那就要让每天吃掉的草量等于每天生长的草量，所以最多能放5头牛。
(二)多个草场牛吃草问题
多个草场的牛吃草问题，是不同的牛数在不同的草场上的几种不同吃法，其中每头牛每天吃草量和草每天的生长量，两个量是不变的。我们可以通过最小公倍数法即通过寻找多个草场面积的“最小整数倍”，然后将所有面积都转化为“最小公倍数”，同时对牛的头数进行相应变化，然后进行解答。这样就变成了在相同面积草场的牛吃草问题，那么就可以直接使用牛吃草问题公式进行解答了。
例：20头牛，吃30公亩牧场的草15天可吃尽，15头牛吃同样牧场25公亩的草，30天可吃尽。请问几头牛吃同样牧场50公亩的草，12天可吃尽?
华政解析：取30、25和50的公倍数300，所以原题等价于“300亩的牧场可供200头牛吃15天，可供180头牛吃30天，那么可供多少头牛吃12天”，设每头牛每天吃草量为1，草长的速度是x，300亩的草可供n头牛吃12天，那么有(200-x)×15=(180-x)×30=(n-x)×12，解得x=160，n=210，210÷6=35，所以35头牛吃同样牧场50公亩的草，12天可吃尽。
