余数的重要性质有：
1、余数小于除数
2、被除数=除数×商+余数
3、同余定理
(1)余数的和决定和的余数
(2)余数的差决定差的余数
(3)余数的积决定积的余数
(4)余数的幂决定幂的余数
例1：甲乙丙三个人去图书馆，甲每15天去一次，乙每16天去一次，丙每17天去一次，三个人在星期一的时候相遇了，问下次相遇是星期几?
【华政解析】15×16×17，乘积很大，计算过程较繁琐。1×2×3=6 即再往后过6天，周一过六天就是周日。
例2：今天是周三，再过83天是星期几?
【华政解析】83÷7即13÷7，余1，再过一天，说明是星期四。
例3：1986年春节(2月9日)是星期天，请问再过1988天是星期几?再过19881986天是星期几?再过19891986天是星期几?
【华政解析】“1986年春节是2月9日”是无用的干扰信息，“星期天”是有用信息，星期是以7天为一个周期。
1988÷7 能被整除，所以是整数周，是星期天;
1988÷7的余数即1986 ÷7的余数，所以是整数周，也是星期天;
19891986÷7 余11986=1，所以再加一天，是星期一。
例4：篮子里装有不多于500个苹果，如果每次两个、每次三个、每次四个、每次五个、每次六个地取出，篮子中都剩下一个苹果，而如果每次取出七个，那么没有苹果剩下，问篮子中共有多少个苹果?
A.298 B.299 C.300 D.301
【华政解析】答案D。条件看起来很复杂，什么数的整除是最好判断的呢?2和5的整除最好判断;10以内能被2整除的数有5个，10以内能被5整除的数有2个。所以5的整除更好判断。除以5余1，尾数是1或6，选D。
例5：一堆苹果，5个5个分剩余3个，7个7个分剩余2个，问这堆苹果的个数最少为( )?
A.31 B.10 C.23 D.41
【华政解析】答案C。剩余定理的应用：5的倍数多3，5的倍数末尾是5或0，多3，尾数变为8或3，选C。
华政教育专家提醒考生，余数问题中同余定理是最重要的考点，另外余数问题经常会和年龄问题、日期问题等联合进行考查，考生还要继续进行练习和提高。
